3.2 Распределения общего вида и их характеристики

Условия:

·       Случайная величина должна быть распределена на положительной полуоси

·       Математический аппарат, который развит ТМО позволяет получить результаты не для всех распределений случайных величин

Наиболее удобными с точки зрения отсутствия последействия являются экспоненциальное распределение непрерывной случайной величины f(x)=-λ*e^-λx и геометрическое распределение дискретной случайной величины.

Для всех остальных распределений результаты получены при определенных ограничениях. С другой стороны, геометрическое распределение не может правильно описывать все процессы.

Поэтому используются следующие:

1 Равномерное распределение

Функция распределения случайной величины x, равномерно распределенной на интервале  выглядит следующим образом:

.                                                                                                       (5.5)

Плотность вероятности

                                                                                                        (5.6)

2 Гамма – распределение

Функция распределения не выражается в аналитическом виде.

Плотность вероятности

,                                                                        (5.9)

где с – параметр формы, b – параметр масштаба (иногда не используется и предполагается равным 1).

3 Логнормальное распределение

Функция распределения не выражается в аналитическом виде

Плотность вероятности

,                                                       (5.12)

где s  > 0 – параметр формы (стандартное отклонение случайной величины), m – параметр масштаба (медиана), . Параметры m и s выражаются через характеристики показательного распределения следующим образом

,                                                                                                             (5.13)

,                                                                                                 (5.14)

где  – вспомогательная переменная, E_exp – математическое ожидание показательного распределения, D_exp – дисперсия показательного распределения.

 

4 Распределение хи - квадрат

Функция распределения:

.                                           (5.17)

Плотность вероятности:

,                                                                               (5.18)

где d > 0 – параметр формы (число степеней свободы).

5.Распределение Эрланга

Распределение Эрланга – это гамма - распределение с целым параметром c.

Функция распределения

.                                                                               (5.21)

Плотность вероятности

,                                                                         (5.22)

где c > 0 – параметр формы (целое число), b > 0 – параметр масштаба.

6.Распределение Вейбулла

Функция распределения

.                                                                                        (5.25)

Плотность вероятности

,                                                             (5.26)

где c > 0 – параметр формы, b > 0 – параметр масштаба (характерное время жизни).