3.25. Моделирование случайных процессов в СМО

 

Моделирование случайных процессов, в том числе и систем массового обслуживания, осуществляется с помощью моделирования случайных величин, подчиняющихся различным распределениям: равномерному, показательному, нормальному и др. Для получения таких случайных величин используется случайная величина X, равномерно распределенная на отрезке [0,1], из которой различными преобразованиями получают случайную величину, подчиняющуюся требуемому закону распределения.

Случайная величина X называется равномерно распределенной на отрезке [0,1], если ее плотность f(c) на этом отрезке постоянна и равна единице:

Функция распределения такой случайной величины X имеет значения

Случайные величины X, равномерно распределенные на отрезке [0,1], можно получить тремя способами: 1) используя таблицы случайных чисел; 2) с помощью генераторов (датчиков) случайных чисел; 3) программным путем с помощью ЭВМ (псевдослучайные числа). Псевдослучайные числа (точнее, псевдослучайная последовательность чисел) вырабатываются рекуррентным способом по специальным алгоритмам, в которых каждое последующее число получается из предыдущих в результате применения некоторых арифметических и логических операций. Эти числа называются псевдослучайными, а не случайными, так как последовательности чисел, получаемых с помощью рекуррентных соотношений, являются периодическими. Однако период может быть выбран столь большим, что практически этот недостаток можно не учитывать.

Возможность моделирования случайной величины X, равномерно распределенной на отрезке [0,1], позволяет моделировать и непрерывную случайную величину, распределенную по любому закону F(x)=p(E<x). Функция распределения случайной величины E монотонно возрастает от 0 до 1.

Значения случайной величины E, распределенной по любому закону в интервале [а, b) с плотностью f(x), определяется из уравнения

Для каждой реализации величины X решается последнее уравнение относительно x_, т. е. определяется реализация величины Е.

Принцип моделирования случайной величины Е, равномерно распределенной в интервале [а, b), и случайной величины Е, распределенной по показательному закону.

Равномерно распределенная в интервале [а, b) случайная величина Е имеет в этом интервале постоянную плотность, равную

, откуда                 (1)

Используя в процессе моделирования каждую реализацию случайной величины X и преобразование (1), получаем последовательность случайных величин x, равномерно распределенных в интервале [а, b).

Случайная величина Е, распределенная в интервале [0, ¥) по показательному закону с параметром l, имеет плотность распределения

, откуда , 

Величина (1-c) так же, как и c, является равномерно распределенной на отрезке [0,1], поэтому . Таким образом, в процессе моделирования на основе многократной реализации случайной величины X и преобразования (1) получаем последовательность случайных величин x распределенных по показательному закону с заданным параметром l.

Есть также специальные методы моделирования для показательного распределения, g-распределения, и нормального распределения.

Пример специального метода для показательного распределения (экономичный метод). Пусть … …  независимые случайные величины, равномерно распределенные в интервале [0,1]. …  - расставленные в порядке возрастания величины … .

, . Тогда случайные величины , k=1,2,…n. Вычисление логарифма занимает около 30 элементарных операций. Данный метод экономичный, потому что логарифм надо вычислить один раз.