20.Гауссовский СП и его свойства.

Случайный процесс называется нормальным (гауссовым), если его многомерная функция распределения, для совокупности значений  определяется выражением              

где  и  - среднее значение и дисперсия процесса в момент времени  

     (3.6.2)

- определитель n-го порядка корреляционной матрицы, ,   - алгебраическое дополнение элемента , а

        

- коэффициент корреляции случайных величин  и . Очевидно, что .

Если нормальные случайный процесс стационарен в широком смысле, т.е. все  и  постоянны

                ;         (3.6.4)

а корреляционная функция  зависит только от разности моментов времени , то многомерную функцию распределения можно записать в виде

                        (3.6.5)

где  будут являться числовыми функциями параметров , которые определяются значениями коэффициентов корреляции  для указанных (n-1) значений τ.

Таким образом, для стационарного в широком смысле нормального процесса многомерная функция распределения не зависит от сдвига совокупности точек  вдоль оси времени на постоянную величину . Следовательно, для нормального процесса понятие стационарности в широком и строгом смысле совпадают. Нормальный процесс полностью определяется заданием среднего значения   а   и корреляционной функции . Заметим, что для эргодичности стационарного нормального процесса достаточна непрерывность его энергетического спектра

Если значения нормального случайного процесса в различные моменты времени некоррелированы (например, для белого шума), то

                         (3.6.6)

а многомерная функция распределения

        будет равна произведению одномерных функций. Следовательно, для нормального процесса некоррелированность его значений означает независимость.

       Первые две функции распределения нормального случайного процесса записываются в виде

       (3.6.8)

       Сумма стационарного случайного нормального процесса  и детерминированного  согласно приведенным выше выражениям будет также нормальным, но нестационарным случайным процессом с той же дисперсией  и математическим ожиданием, равным

                  (3.6.10)

       Одномерная интегральная функция распределения для нормального закона определяется выражением

                         

где функция

                         (3.6.12)

называется интегралом вероятности или функцией Лапласа. Значения этой функции приводятся в таблицах (при этом ). Графики  интегральной и дифференциальной функций распределения для нормального закона показаны на рис.3.27.

Вероятность того, что значения нормального случайного процесса будут находиться в интервале от  до  определяется выражением

  

Если , то для вероятности пребывания случайной величины в интервале ()  получим

                       (3.6.14)

Таким образом, можно считать, что практически колебания случайного процесса вокруг среднего значения не превышают , где σ - среднеквадратичное или эффективное значение помехи. Пикфактор нормальной помехи, определяемый как отношение максимального значения к эффективному, принято считать равным 3 – 4,5.

       Нормальный случайный процесс может быть разложен в ряд по любым ортогональным функциям. При этом некоррелированность коэффициентов разложения  в (3.5.1), имеющих нормальное распределение вероятностей, при выборе функций разложения с учетом (3.5.3) будет означать их независимость. Сказанное в одинаковой мере справедливо и при представлении случайных процессов в виде рядов Фурье (3.5.4) или Котельникова (3.5.8). Отметим здесь только следующее обстоятельство. Если нормальный процесс имеет равномерный и непрерывный энергетический спектр  (белый шум), то коэффициенты Фурье будут независимыми случайными величинами с нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями . Средняя мощность такого процесса согласно (3.5.5) будет определяться выражением

                          

Заметим, что величина

       (3.6.16)

определяет среднюю мощность процесса, отводимую отдельным частотным составляющим, расположенным друг от друга на расстоянии . С другой стороны мощность в полосе частот  согласно (3.3.6) и (3.4.12) равна

               

Следовательно.    

         (3.6.17)

Многомерная плотность вероятностей коэффициентов разложения Фурье для белого шума может быть записана в виде

                      

В пределе при , вместо последнего выражения получим                             

    

где С – некоторая постоянная величина.