1.      Функция корреляции прямоугольного импульса и дискретных последовательностей.

     В качестве первого простейшего примера определим корреляционную функцию реализации случайного процесса в виде одиночного прямоугольного импульса длительностью Т (рис. 3.11 а). Для процессов, имеющих конечную длительность Т, функцию корреляции в отличии от (3.2.7) определяют как         и называют ее иногда кратковременной функцией корреляции.

       Для одиночного прямоугольного импульса имеем

                                      

при  и

при . Подставляя значения реализации в (3.2.27), для функции корреляции получим

                

       Объединяя два последних выражения, окончательно находим

       

График этой функции корреляции показан на рис. 3.11.б.

       В качестве второго примера определим корреляционную функцию случайного телеграфного сигнала (рис. 3.12), который представляет собой случайную последовательность прямоугольных импульсов с длительностью Т и амплитудой, с равной вероятностью принимающей значения  и . Корреляционную функцию можно построить в этом случае путем следующих простых рассуждении. При  согласно (3.2.15) она равна мощности процесса . При  произведение  с равной вероятностью принимает значения . Поэтому интегрирование этого произведения на достаточно большом интервале времени дает результат, равный нулю, т.е.

 при .

 

       В промежуточных точках , как это видно из рис. 3.12, в течение относительной части времени  произведение  будет равно , а в течение остального времени произведение с одинаковой вероятностью будет равно . Таким образом, корреляционная функция случайного телеграфного сигнала будет определяться тем же выражением (3.2.31), что и для одиночного прямоугольного импульса (рис. 3.11). Этого, вообще говоря, следовало ожидать, поскольку зависимость между значениями случайной последовательности импульсов с равновероятными полярностями должна существовать лишь в пределах длительности Т одного импульса.

       Определим теперь корреляционную функцию обобщенного телеграфного сигнала, одна из реализации которого показана на рис. 3.13. Обобщенный телеграфный сигнал представляет собой последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой , но со случайной длительностью. Пусть  - среднее число перемен знака в единицу времени - мало, а вероятность перемены знака на интервале  равна   и не зависит от того, как происходит перемены знака вне того интервала. В этом случае можно показать, что вероятность появления К перемен знака на интервале  будет определяться законом Пуассона:             

Корреляционную функцию этого процесса определим по совокупности реализаций             

Произведение  будет равно либо , либо  в зависимости от того, будет ли , либо . Равенство  означает, что на интервале τ произошло, четное число перемен знака, т.е. произошло одно из несовместимых событий: k=0 или k=2 или k=4 и т.д. Для вероятности четного числа перемен знака по теореме сложения вероятностей получим

     

Аналогично, равенство  означает, что произошло нечетное число перемен знака, и вероятность этого будет равна                   

                         

С учетом последних выражений дли функции корреляция получим

                      

Знак модуля в экспоненте поставлен потому, что функция корреляции должна быть четной.