3.8 Модели СМО для анализа сетей с коммутацией каналов. Формула Эрланга

Состояние занятости пучка линий

Линия может находиться в одном из двух состояний – свободном или занятом. В пучке из N линий может одновременно существовать до  N занятий. В момент времени t может быть занято x(t) = 0, 1, 2,…, N линий. Число x(t) одновременных занятий называется состоянием занятости пучка в момент времени t. Каждому состоянию занятости пучка соответствует вероятность этого состояния P(x,t). При установившемся характере процесса обслуживания распределение состояний занятости не зависит от времени P(x).Для полнодоступного пучка критическим является состояние х = N (полная загрузка). G = P(N) – опасное время.

Пример процесса обслуживания – расс-ся случай с тремя обслуживающими приборами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула Эрланга.Полнодоступный пучок с потерями – наиболее известная система, существующая при распределении информации, и описывающая ее первая формула Эрланга часто используется в инженерных расчетах.

Модель Эрланга выглядит следующим образом:

 

 

lPB

1. Имеется m обслуживающих приборов – соединительных линий, каждая из которых доступна, когда она свободна для любого поступающего вызова.

2. Вызовы образуют пуассоновский поток интенсивности l.

l_к=l, при к < m  иl_к=0, при k>=m

3. Длительность занятия подчиняется экспоненциальному распределению с параметром m.

4. Вызов не принятый к обслуживанию, теряется,  не влияя на моменты поступления последующих вызовов.

P_B – вероятность отказа.

Имеет место СМО вида М/M/m с потерями.

Диаграмма интенсивности:

Сколько приборов, столько и требований.

, при к<=m – вероятность того ,что все каналы заняты

при к>m =0

Вероятность к-требований в системе:

 при k<=m, а при k>m =0

Следовательно, вероятность того, что все каналы заняты запишется следующим образом(вероятность блокировки) – В- формула Эрланга:

Для первой формулы Эрланга верно рекуррентное соотношение

, где E₀() = 1.

Плотность распределение Эрланга r- степени:

  при x>=0

понятие С-формулы Эрланга(выводится на основе системы M/M/m, с ограниченным числом приборов _к=к при k<=m; _k=m, при k>=m , l_к=l, , при к=0,1,2,3..). Это вероятность того, что требование ждет обслуживания. - вероятность ожидания.